Nonperturbative aspects of JT gravity and TT¯ deformation

Abstract

L'obiettivo di questa tesi è lo studio di effetti e fenomeni non perturbativi nelle teorie di gravità e di gauge in un numero ridotto di dimensioni fisiche, sia in presenza che in assenza di deformazioni integrabili. L'indagine di questi aspetti non perturbativi è infatti essenziale per rendere le quantità fisiche ben definite, consentendo una migliore comprensione del regime quantistico delle relative teorie. Concretamente, ci concentriamo sulla gravità di Jackiw--Teitelboim, uno dei rari esempi di sistemi gravitazionali quantistici risolvibili esattamente e un modello paradigmatico per l'olografia, e la teoria di Yang-Mills in due dimensioni, che è profondamente correlata alla gravità JT nel formalismo del primo ordine. Grazie al loro alto grado di risolvibilità e controllo, questi due modelli forniscono un prezioso laboratorio teorico per testare fenomeni e proprietà che possono verificarsi nelle relative teorie realistiche quadridimensionali. Data una teoria con una soluzione quantistica esatta, è naturale ricercare deformazioni che ne preservino il carattere risolvibile: per questo motivo, successivamente indaghiamo il flusso di questi modelli sotto la deformazione $T\bar{T}$, che offre la possibilità di muoversi in sicurezza contro il flusso del gruppo di rinormalizzazione e descrivere fenomeni fisici non locali nel profondo ultravioletto. Il primo progetto riguarda lo studio della serie perturbativa associata a correlatori bi-locali nella gravità JT, nel caso in cui gli operatori di materia abbiano un peso conforme positivo. Partendo dall'espressione esatta nota, derivata con metodi di teorie di gauge e teorie conformi, riproduciamo l'espansione schwarziana oltre l'ordine semiclassico. Il calcolo viene eseguito per temperature arbitrarie e distanze finite, sulle topologie di disco e trombetta. Nel caso in cui il peso conforme sia semi-intero, si ottiene anche una formula che presenta il risultato perturbativo ad ogni dato ordine nell'espansione, in termini di polinomi di Apostol-Bernoulli generalizzati. Si considera quindi il limite di temperatura nulla, ottenendo un'espressione compatta che consenta di discutere il comportamento asintotico della serie perturbativa ed eventualmente rilevare i relativi completamenti non perturbativi. Infine si evidenzia la possibilità di esprimere il risultato esatto come combinazioni particolari di integrali di Mordell. In secondo luogo, passiamo ad investigare la struttura non perturbativa della gravità JT a cutoff finito, assumendo la sua formulazione in termini di una meccanica quantistica schwarziana $T\bar{T}$-deformata. Il nostro punto di partenza è un attento calcolo della funzione di partizione del disco a tutti gli ordini nell'espansione perturbativa nel parametro di cutoff. Mostriamo che la serie perturbativa è asintotica e che ammette un completamento preciso sfruttando le proprietà analitiche della sua trasformata di Borel, come prescritto dalla teoria della risorgenza. Il risultato finale è quindi naturalmente interpretato in termini del ramo non perturbativo dello spettro $T\bar{T}$-deformato. La funzione di partizione della trombetta a cutoff finito viene calcolata applicando la stessa strategia. Nella seconda parte dell'analisi, proponiamo un'estensione di questo formalismo a topologie arbitrarie, utilizzando le regole fondamentali di decomposizione topologica del caso non deformato. Le integrazioni di Weil--Petersson possono essere correttamente eseguite grazie alle correzioni non perturbative e danno risultati compatibili con l'equazione di flusso associata alla deformazione $T\bar{T}$. Deriviamo espressioni esatte per topologie generali e mostriamo che queste sono catturate da un'opportuna deformazione della ricorsione topologica di Eynard-Orantin. Infine, studiamo i regimi di ``slope'' e ``ramp'' del fattore di forma spettrale in funzione del parametro di cutoff. Il legame profondo tra gravità e deformazione $T\bar{T}$ suggerisce di considerare il flusso indotto dall'operatore $T\bar{T}$ in un altro modello bidimensionale profondamente connesso, Yang-Mills. Studiamo quindi la deformazione $T\bar{T}$ di questa teoria su una superficie di genus zero effettuando l'analisi a livello della sua rappresentazione istantonica. Ci concentriamo dapprima sul settore perturbativo considerando la sua espansione nel parametro di deformazione. Studiando la serie asintotica risultante attraverso la teoria della risorgenza, determiniamo i contributi non perturbativi che entrano nel risultato nel caso in cui il parametro di deformazione sia negativo. Estendiamo quindi questa analisi a qualsiasi settore istantonico risolvendo la relativa equazione di flusso. Nello specifico, imponiamo condizioni al contorno corrispondenti a due regimi distinti: la completa teoria quantistica non deformata e il limite semiclassico della teoria deformata. La funzione di partizione completa si ottiene come somma di tutti i flussi magnetici. Nel caso in cui il parametro di deformazione sia positivo, solo una porzione finita dello spettro quantistico sopravvive e la funzione di partizione si riduce a una somma su un insieme finito di rappresentazioni. Nel caso in cui il parametro di deformazione sia negativo, i contributi non perturbativi regolarizzano la funzione di partizione attraverso un sottile meccanismo che genera sottrazioni non banali. Infine, continuiamo l'analisi studiando la dinamica a grande N della teoria di Yang–Mills $T\bar{T}$-deformata a genus zero. L'espansione 1/N dell'energia libera si ottiene sfruttando l'equazione di flusso associata e il diagramma di fase completo della teoria è ricavato ​​per entrambi i segni del parametro di deformazione riscalato. Osserviamo una transizione di fase del terzo ordine guidata da un processo di condensazione istantonica, il quale rappresenta la versione deformata della familiare transizione Douglas-Kazakov che separa la fase debolmente accoppiata da quella fortemente accoppiata. Studiando queste fasi, calcoliamo la deformazione sia del settore perturbativo che dell'espansione di stringa di Gross-Taylor. Le correzioni non perturbative nel parametro $T\bar{T}$ guidano il sistema in una fase disordinata totalmente inesplorata, separata da una nuova linea critica che incontra tangenzialmente quella di Douglas-Kazakov in un punto tricritico. La transizione di fase associata è indotta dalla collisione di punti di sella ad N grande, determinandone il carattere di transizione del secondo ordine.

The goal of this dissertation is the study of nonperturbative effects and phenomena in low-dimensional gravity and gauge theories, both in the presence and absence of integrable deformations. The investigation of these nonperturbative aspects is indeed essential to render physical quantities well-definite, allowing for a better understanding of the quantum regime of the relevant theories. Concretely, we focus on JT gravity, one of the rare example of exactly solvable quantum gravitional systems and a remarkable toy model for holography, and 2d Yang-Mills theory, which is very much related to JT gravity in the first order formalism. Due to their high degree of solvability and control, these two models provide a valuable theoretical laboratory to test phenomena and properties likely to occur in their realistic four-dimensional counterparts. Given a theory with an exact quantum solution, it is natural to look for deformations preserving its solvable character: for this reason, we subsequently investigate the flow of these models under the TT¯ deformation, which offers the possibility to safely move against the renormalization group flow and possibly describe non-local physics in the deep UV. The first project concerns the study of the perturbative series associated to bi-local correlators in JT gravity, for positive weight λ of the matter CFT operators. Starting from the known exact expression, derived by CFT and gauge theoretical methods, we reproduce the Schwarzian semiclassical expansion beyond leading order. The computation is done for arbitrary temperature and finite boundary distances, in the case of disk and trumpet topologies. A formula presenting the perturbative result at any given order in terms of generalized Apostol-Bernoulli polynomials is also obtained. The limit of zero temperature is then considered, obtaining a compact expression that allows to discuss the asymptotic behavior of the perturbative series and possibly detect, if any, the relevant nonperturbative completions. Finally we highlight the possibility to express the exact result as particular combinations of Mordell integrals. Secondly, we turn to investigate the nonperturbative structure of Jackiw–Teitelboim gravity at finite cutoff, as given by its proposed formulation in terms of a TT¯-deformed Schwarzian quantum mechanics. Our starting point is a careful computation of the disk partition function to all orders in the perturbative expansion in the cutoff parameter. We show that the perturbative series is asymptotic and that it admits a precise completion exploiting the analytical properties of its Borel transform, as prescribed by resurgence theory. The final result is then naturally interpreted in terms of the nonperturbative branch of the TT¯-deformed spectrum. The finite-cutoff trumpet partition function is computed by applying the same strategy. In the second part of the analysis, we propose an extension of this formalism to arbitrary topologies, using the basic gluing rules of the undeformed case. The Weil–Petersson integrations can be safely performed due to the nonperturbative corrections and give results that are compatible with the flow equation associated with the TT¯ deformation. We derive exact expressions for general topologies and show that these are captured by a suitable deformation of the Eynard–Orantin topological recursion. Finally, we study the “slope” and “ramp” regimes of the spectral form factor as functions of the cutoff parameter. The deep link between gravity and TT¯ deformation suggests to consider the flow induced by the TT¯ operator in another deeply connected two-dimensional model, Yang-Mills. We study the TT¯ deformation of this theory on a surface at genus zero by carrying out the analysis at the level of its instanton representation. We first focus on the perturbative sector by considering its power expansion in the deformation parameter µ. By studying the resulting asymptotic series through resurgence theory, we determine the nonperturbative contributions that enter the result for µ < 0. We then extend this analysis to any flux sector by solving the relevant flow equation. Specifically, we impose boundary conditions corresponding to two distinct regimes: the quantum undeformed theory and the semiclassical limit of the deformed theory. The full partition function is obtained as a sum over all magnetic fluxes. For any µ > 0, only a finite portion of the quantum spectrum survives and the partition function reduces to a sum over a finite set of representations. For µ < 0, nonperturbative contributions regularize the partition function through an intriguing mechanism that generates nontrivial subtractions. Finally, we continue the analysis by studying the large-N dynamics of TT¯-deformed 2d Yang–Mills theory at genus zero. The 1/N-expansion of the free energy is obtained by exploiting the associated flow equation and the complete phase diagram of the theory is derived for both signs of the rescaled deformation parameter τ . We observe a third-order phase transition driven by instanton condensation, which is the deformed version of the familiar Douglas–Kazakov transition separating the weakly-coupled from the strongly-coupled phase. By studying these phases, we compute the deformation of both the perturbative sector and the Gross–Taylor string expansion. Nonperturbative corrections in τ drive the system into an unexplored disordered phase separated by a novel critical line meeting tangentially the Douglas–Kazakov one at a tricritical point. The associated phase transition is induced by the collision of large-N saddle points, determining its second-order character.