Random discharge potential NNLIF model.

Abstract

Subject of the thesis are the NNLIF (Nonlinear Noisy Leaky Integrated and Fire) models, based on non-linear system of PDEs of FokkerPlanck type. These models describe the activity of the neural system through the membrane potential, that is the potential difference between the inside and outside of the neuron. When a neuron receives a stimulus, its membrane potential grows and, upon reaching a certain threshold, generates an action potential, or an electrical signal that is transmitted to the other neurons via the synapses. If the received signal is amplified it is called an excitatory neuron, vice versa an inhibitory neuron. In the first chapter, which is a collection of previous results, we will investigate in particular the case in which the neural system is made up of average-excitatory or average-inhibitory neurons and without refractory period. In particular, we will prove global existence in the case of only inhibitory neurons, while in the case of only excitatory neurons we will demonstrate that the solutions blow up at finite times. Then we will show how the number of steady states varies in dependence of the parameter b which represents connectivity between neurons (b > 0 excitatory, b < 0 inhibitory). The second chapter is the main part of this thesis as it contains the new results on the topic and has the aim of analyzing the case in which the discharge of the action potential is random: this means that the neuronal signals are transmitted when the membrane potential reaches a threshold which is not fixed, but random. From a mathematical point of view, this phenomenon is represented by adding a term characterized by a function φ , called the discharge rate. This can be chosen in various ways, we will first use a discontinuous form and then a continuous one. We will deal in particular with the conditions on the parameters that allows us to have 0, 1, or at least 2 or 3 stationary solutions. Finally we will compare the results of the two models highlighting the differences found, and the differences with the fixed threshold model.

Oggetto della tesi sono i modelli NNLIF (Nonlinear Noisy Leaky Integrate and Fire), basati su sistemi di PDE non lineari del tipo Fokker-Planck. Questi modelli descrivono l’attivit´a del sistema neurale attraverso il potenziale di membrana, ovvero la differenza di potenziale tra l’interno e l’esterno del neurone. Quando il neurone riceve uno stimolo, il potenziale di membrana cresce e, raggiunta una certa soglia, genera un potenziale d’azione, ovvero un segnale elettrico che viene trasmesso agli altri neuroni tramite le sinapsi. Se il segnale ricevuto viene amplificato si parla di neurone eccitatorio, viceversa di neurone inibitorio. Nel primo capitolo, che `e una raccolta di risultati ottenuti in precedenza, approfondiremo in particolare il caso in cui il sistema neurale sia formato da neuroni solo eccitatori o solo inibitori e senza periodo refrattario. In particolare ci occuperemo di provare l’esistenza globale della soluzione nel caso di neuroni solo inibitori, mentre nel caso di neuroni solo eccitatori dimostreremo che le soluzioni esplodono a tempi finiti. Mostreremo poi come varia il numero di soluzioni stazionarie, al variare del parametro b che rappresenta la connettivit`a tra i neuroni (b > 0 eccitatori, b < 0 inibitori). Il secondo capitolo contiene i nuovi risultati e ha l’obiettivo di analizzare il caso in cui la scarica del potenziale d’azione sia random: questo significa che i segnali neuronali vengono trasmessi quando il potenziale di membrana raggiunge una soglia che non `e fissa, ma casuale. Da un punto di vista matematico tale fenomeno si rappresenta aggiungendo un termine caratterizzato da una funzione φ , chiamata tasso di scarico. Questa pu`o essere scelta in vari modi, noi utilizzeremo prima una forma discontinua e poi una continua. Ci occuperemo in particolare di determinare le condizioni sui parametri affinch´e si abbiano 0, 1, o almeno 2 o 3 soluzioni stazionarie. Infine confronteremo i risultati dei due modelli mettendo in evidenza le differenze riscontrate.