Some geometric estimates for fractional Poincaré inequalities

Abstract

This thesis is devoted to study the following two problems: giving geometric lower bounds for the first eigenvalue of the fractional Dirichlet-Laplacian of order $s$; determining the sharp constant for the fractional Hardy inequality. The two problems are tightly connected: indeed, for an open set having finite inradius, every lower bound on the sharp Hardy constant immediately translates into a lower bound for the first eigenvalue. \par For the first problem, we prove a geometric lower bound in terms of the {\it inradius} of the set, in the case of open planar sets having nontrivial topology. This is valid for $1/2<s<1$ only, and we show that this condition is sharp. Moreover, by constructing suitable counter-examples, we prove that our lower bound is optimal, in many respects. The result is obtained through some non-trivial adaptions to the fractional case of techniques employed by Hayman and Taylor, to handle the case of the usual Laplacian operator. In adapting these techniques, we will develop some technical tools, which are interesting in themselves, in the context of fractional Sobolev spaces. \par For the second problem, we determine the sharp constant in the fractional Hardy inequality for open convex sets in every dimension. This is done by constructing suitable local weak supersolutions with geometric content, to the relevant Euler-Lagrange equation. The latter is a weighted eigenvalue--type equation, containing a negative power of the distance from the boundary. For $1/2\le s<1$, such supersolution is given by a suitable power of the distance function. The case $0<s<1/2$ is much more difficult, since such a construction fails. In this case, we employ a directional decomposition method, which permits to reduce the problem to dimension $1$. This technique is due to Loss and Sloane, in the fractional setting. In particular, we can compute the sharp constant in the whole range $0<s<1$. This completes a result which was left open in the literature.

In questa tesi studiamo i due seguenti problemi: dare stime geometriche dal basso per il primo autovalore del Laplaciano frazionario di ordine $s$ con condizioni di Dirichlet; determinare la costante ottima per la disuguaglianza di Hardy frazionaria. Tali problemi sono strettamente connessi: infatti, per un insieme aperto con inradius finito, ogni stima dal basso per la costante ottima di Hardy si può convertire in modo immediato in una stima dal basso per il primo autovalore.

Per il primo problema, proviamo una stima geometrica dal basso in termini dell'{\it inradius} dell'insieme, nel caso di aperti del piano con topologia non banale. Questo vale solo per $1/2<s<1$, e mostriamo che tale condizione è ottima. Inoltre, costruendo controesempi appropriati, proviamo che questa stima è ottimale in molti aspetti. Tale risultato è ottenuto adattando al caso frazionario in modo non banale le tecniche utilizzate da Hayman e Taylor, per il caso del Laplaciano classico. A tal proposito, elaboreremo alcuni strumenti tecnici che sono interessanti di per s\'e nel contesto degli spazi di Sobolev frazionari.

Per il secondo problema, determiniamo la costante ottima della disuguaglianza di Hardy frazionaria per aperti convessi in ogni dimensione. Per fare ciò, costruiamo una soprasoluzione debole locale, avente un contenuto geometrico, alla rispettiva equazione di Eulero-Lagrange. Quest'ultima è un'equazione agli autovalori pesata, contenente una potenza negativa della funzione che indica la distanza dal bordo dell'insieme. Per $1/2\le s<1$, tale soprasoluzione è data da una potenza appropriata della funzione distanza. Il caso $0<s<1/2$ è più complesso, in quanto tale costruzione non è valida. In questo caso, applichiamo un metodo di decomposizione delle direzioni, sviluppato da Loss e Sloane nel contesto frazionario, che ci permette di ridurre il problema alla dimensione $1$. Più precisamente, possiamo calcolare la costante ottima in tutto l'intervallo $0<s<1$ e questo completa un problema che era stato lasciato aperto in letteratura.