Verso una soluzione per il problema del segno tramite complessificazione: ditali di Lefschetz ed espansioni di Taylor.

Abstract

La conoscenza del diagramma di fase della QCD a temperatura e potenziale bariochimico finiti è di cruciale importanza per la comprensione di innumerevoli fenomeni fisici, dalle collisioni fra ioni pesanti, alle stelle di neutroni, all'evoluzione dell'Universo nei suoi primi istanti di vita. Ciononostante, gran parte del diagramma di fase resta inaccessibile alle simulazioni su reticolo a causa del problema del segno: a potenziale bariochimico finito, l'azione diventa complessa e questo impedisce l'applicazione dei tradizionali metodi Monte Carlo al calcolo dei valori di aspettazione.

L'oggetto di questo lavoro è lo studio di metodi di calcolo, finalizzati ad aggirare il problema del segno, basati sulla regolarizzazione tramite Lefschetz thimble. Complessificando i gradi di libertà di una teoria di campo è possibile deformare il dominio di integrazione degli integrali di interesse in modo da eliminare (o attenuare) il problema del segno. I Lefschetz thimble sono un insieme di manifold attaccati ai punti critici della teoria complessificata. Gli integrali originari possono essere decomposti in una combinazione lineare di integrali calcolati su questi manifold. Una caratteristica fondamentale dei Lefschetz thimble è che su ognuno di essi la parte immaginaria dell'azione resta costante, cosicché i termini che compaiono nella decomposizione non sono affetti dal problema del segno.

Una problematica che si incontra cercando di applicare questa tecnica è che determinare i pesi da associare ai contributi provenienti da diversi thimble costituisce un'impresa non banale. In questo lavoro studiamo come sia possibile affrontare questo problema. In particolare mostriamo come, sfruttando espansioni in serie di Taylor su Lefschetz thimble ed interpolazioni di tipo Padé, è possibile bypassare la necessità di determinare i suddetti pesi. Come esempi di concreta applicazione del metodo consideriamo il modello di Thirring unidimensionale e l'Heavy-Dense QCD.

Motivati dal successo ottenuto accoppiando la regolarizzazione tramite Lefschetz thimble alle interpolazioni di tipo Padé ed agli sviluppi in serie di Taylor, proviamo inoltre ad accoppiare questi ultimi due strumenti al più tradizionale metodo di calcolo costituito dalle simulazioni a potenziale chimico immaginario per cercare punti critici nel diagramma di fase della QCD.