Un modello non lineare per l’analisi in campo bidimensionale di strutture in conglomerato armato

Abstract

Nel Capitolo 1 verrà presentato uno “stato dell’arte” relativo ai principali modelli teorici storicamente utilizzati nello studio del comportamento degli elementi membranali in conglomerato armato soggetti a stato piano di tensione, che, una volta assemblati, permettono di analizzare numerose e complesse strutture (quali piattaforme petrolifere, coni di raffreddamento delle centrali nucleari, gusci di silos o impalcati di ponti). Prima di passare ad una descrizione più estesa di tali modelli, o quantomeno dei più celebri, l’attenzione verrà inizialmente focalizzata sui principali aspetti che caratterizzano la modellazione del conglomerato armato fessurato e, in particolare, sui diversi approcci utilizzati per tener conto dell’influenza esercitata tanto dall’armatura, quanto dalle fessure sul comportamento globale. Nella prima situazione è infatti possibile considerare il conglomerato e l’acciaio come due materiali separati (modellazione “discreta”), oppure considerare il calcestruzzo armato alla stregua di un mezzo continuo, “spalmando” gli effetti delle barre d’armatura lungo il loro interasse (modellazione “smeared”); nella seconda situazione, in modo del tutto analogo, è lecito considerare gli effetti legati alla presenza delle fessure tanto localizzati (approccio “discreto”), quanto diffusi su tutto l’elemento (approccio “smeared”). In quest’ultimo caso, inoltre, può essere fatta un’ulteriore distinzione tra i modelli a fessura fissa, ortogonale o non ortogonale, a fessura multidirezionale e a fessura rotante, a seconda che l’orientazione delle fessure venga rispettivamente mantenuta fissa, aggiornata ad intervalli regolari o in modo continuativo. Sempre nell’ambito dell’approccio “smeared” verranno poi illustrati in modo approfondito alcuni dei più importanti modelli disponibili in letteratura, tra cui, in particolare, il Modified Compression Field Theory (Vecchio e Collins, 1986), il Disturbed Stress Field Model (Vecchio, 2000, 2001), il Fixed-Angle Softened Truss Model (Pang e Hsu, 1995, 1996) ed il modello recentemente sviluppato da Soltani, An e Maekawa (“Computational model for post cracking analysis of RC elements based on local stress strain characteristics”, 2003). I primi tre modelli sopra menzionati incarnano la vera essenza della formulazione di tipo smeared (o “non-localized stress field approach”), dal momento che ricercano le risposte medie dell’elemento studiato, senza considerare gli specifici contributi legati alla realtà fisica. Tale scelta, principalmente legata ad una maggiore semplicità computazionale, ha comportato, come si vedrà, l’introduzione di alcune semplificazioni e l’assunzione di valori arbitrari per alcuni dei parametri in gioco, non sempre in grado di garantire una corretta descrizione del reale comportamento delle strutture considerate. Per tali ragioni, nel tempo ha trovato sempre maggiore diffusione anche un altro tipo di approccio, di tipo locale (“localized stress field approach”), in grado di descrivere il vero quadro fessurativo che si sviluppa all’aumentare del carico negli elementi membranali, assumendo come variabili del problema l’apertura e lo scorrimento dei labbri della fessura. Nell’ambito di questo filone di ricerca può essere a tutti gli effetti inserito tanto l’ultimo dei modelli sopra menzionati (Soltani et al.), quanto il modello “PARC” (Belletti, Cerioni, Iori, 2001), citato dallo stesso Soltani nel proprio lavoro come “an advanced numerical tool for future study on the structural behaviour of reinforced concrete” e illustrato in modo più approfondito nel secondo Capitolo.

Dopo aver richiamato i concetti fondamentali alla base del legame “PARC” nella sua versione originaria, nel Capitolo 2 verrà quindi proposta una revisione di tale modello (“2D-PARC”), volta a garantirne una maggiore generalità ed una più agevole estensione tanto al caso tridimensionale quanto al caso di carichi non proporzionali. In particolare, nella presente tesi verrà proposta una diversa formulazione della matrice di rigidezza del materiale, col duplice scopo di garantire un passaggio meno brusco dallo stadio non fessurato a quello fessurato e, contemporaneamente, di poter valutare l’evoluzione del quadro fessurativo al crescere del carico in modo più accurato, considerando, oltre alla fessurazione primaria, anche il caso della fessurazione secondaria ed, in generale, multipla. In tale ottica, il comportamento del conglomerato e dell’acciaio tanto in fase non fessurata, quanto in fase fessurata (riferendosi alla porzione di materiale ancora integro, sebbene degradato, compreso tra due fessure successive) è stato considerato equivalente a quello di due molle in parallelo; mentre il calcestruzzo armato compreso tra due fessure successive e il “materiale” nella fessura (ovvero l’insieme di tutti quei complessi fenomeni che si manifestano nella fessura stessa) sono stati schematizzati come molle in serie. In tal modo è stato possibile, da un lato, utilizzare sostanzialmente gli stessi legami per il calcestruzzo e per l’acciaio sia prima che dopo l’insorgere della fessurazione, “separando” i contributi resistenti legati alla formazione della fessura e, dall’altro, considerare la presenza, all’aumentare del carico applicato, di più fessure con diversa orientazione, dal momento che la matrice di rigidezza totale è stata ottenuta semplicemente “aggiungendo” il contributo di rigidezza dovuto a ciascuna di esse. Rispetto alla precedente versione del modello, tale approccio modulare offre l’ulteriore vantaggio di poter sostituire agevolmente i singoli contributi alla resistenza e alla rigidezza del materiale (dal momento che questi, come già evidenziato, vengono modellati in modo indipendente) qualora siano disponibili studi teorici più approfonditi ed affidabili.

L’efficacia e l’affidabilità del modello proposto saranno quindi verificate nel Capitolo 3, operando opportuni confronti con esperienze sperimentali articolarmente significative relative al caso dei pannelli (o lastre) in c.a. In quest’ottica si illustrerà pertanto la procedura seguita per implementare il legame “2D-PARC” all’interno di un programma scritto in MatLab, in grado di fornire la risposta costitutiva in un punto, posto al centro dell’elemento considerato. Come si vedrà, la relativa semplicità di tale procedura ha permesso di considerare anche il caso della multifessurazione, che, a sua volta, ha evidenziato le capacità del modello tanto di prevedere la formazione del quadro fessurativo quanto di cogliere la sua evoluzione al crescere del carico applicato. Successivamente, verranno quindi descritte le varie fasi seguite per implementare il modello proposto (limitatamente al caso della fessurazione primaria) anche all’interno di un codice commerciale ad elementi finiti denominato ABAQUS, in grado di offrire maggiori potenzialità, specialmente in fase di output dei risultati, rispetto ad un programma scritto “ad hoc”. In tal modo è stato possibile effettuare un’analisi non lineare agli elementi finiti di numerosi pannelli in c.a. e c.a.p., nella quale la non linearità meccanica legata al comportamento in fase pre e post-fessurata del materiale conglomerato armato è stata opportunamente considerata proprio utilizzando il modello costitutivo proposto. Il ricorso ad un programma commerciale come ABAQUS è stato inoltre motivato dalla necessità di rendere la procedura in questione più generale e “flessibile”, in modo tale da estendere il suo campo di applicazione (almeno in futuro) anche allo studio di elementi strutturali più complessi.

Nel Capitolo 4, infine, verrà illustrato un procedimento numerico per l’analisi non lineare di travi in cemento armato genericamente caricate e vincolate, all’interno del quale sono stati implementati, in due fasi successive, tanto il modello “PARC” nella sua versione originale, quanto il più recente modello “2D- PARC”. Il lavoro proposto rappresenta un primo tentativo di descrivere la risposta non lineare di questi elementi strutturali, fortemente influenzata da numerosi e complessi fenomeni (quali le interazioni M-V ed N-V, la presenza di fessure diagonali per taglio, la presenza di zone di “discontinuità”), mediante l’adozione di un modello “semplice” (e quindi numericamente efficiente), basato sull’impiego di elementi monodimensionali, ma al contempo capace di cogliere in modo sufficientemente realistico il comportamento sia in esercizio che a rottura. A tale scopo, è stato quindi introdotto un elemento finito di tipo “trave”, stratificato, in cui il campo degli spostamenti lungo l’altezza della sezione è stato modellato mediante una funzione polinomiale, il cui numero di termini da assumere può essere regolato sulla base della complessità del problema in esame. Il comportamento locale del calcestruzzo armato di ciascuno strato è stato simulato, come detto, attraverso l’implementazione dapprima del modello “PARC” nella sua versione originale (già applicato con successo in passato per l’analisi di travi), e, successivamente, del legame “2D-PARC” (implementazione, quest’ultima, ancora in fase di studio). Anche in questo caso, la bontà dell’approccio seguito è stata verificata attraverso il confronto con dati sperimentali di comprovata validità (Leonhardt e Walther, 1962, Leonhardt, Walther e Dilger, 1964), relativi sia al comportamento in esercizio della struttura, tanto a livello “globale” (come spostamenti e rotazioni), quanto a livello “locale” (come tensioni e deformazioni nel conglomerato e nelle barre d’acciaio, nonché ampiezze di fessura), sia al comportamento a rottura (modalità e carico di collasso).

L’intero filo conduttore che ha guidato lo sviluppo della presente tesi verrà infine brevemente ripercorso nel Capitolo 5, ponendo in particolar modo l’accento tanto sui risultati più significativi fino ad ora raggiunti, quanto sulle potenzialità, ancora inespresse, del lavoro svolto, che potranno essere meglio sfruttate, si spera, in un futuro non troppo lontano.

In the first Chapter, a state-of-the-art concerning the fundamental approaches developed in order to evaluate the behaviour of R/C membrane elements under in-plane stresses will be presented. This topic has been widely discussed in the last forty years because the knowledge of the mechanical behaviour of a single element allows, through the assembly of the elements themselves, the study of large-scale complex civil engineering structures, such as off-shore oil platforms, containment structures for nuclear power plants, storage bins and long-span bridges. The main aspects related to the modelling of cracked reinforced concrete will be first presented, describing the most common approaches used in NLFEA analyses. For example, the reinforcement can be modelled discretely, considering steel and concrete as two separate materials, or using a smeared approach, which means that reinforced concrete is treated as a continuum, whose stress field results from the superposition of the concrete and the steel stresses; at the same way, also cracking can be considered discretely or through a smeared approach. Within the framework of smeared crack approaches, a subsequent distinction between fixed crack models, which assume that crack develops along the direction of principal compressive stresses correspondent to first cracking, being fixed at this angle thereafter, and multidirectional or rotating crack models, in which the crack orientation changes discretely or continuously, is then operated. Finally, some of the most important smeared models are deepened, particularly the Modified Compression Field Theory (Vecchio and Collins, 1986), the Disturbed Stress Field Model (Vecchio, 2000, 2001), the Fixed-Angle Softened Truss Model (Pang and Hsu, 1995, 1996) and the model that has been recently developed by Soltani, An and Maekawa (“Computational model for post cracking analysis of RC elements based on local stress strain characteristics”, 2003). All these models, with the exception of the last one, can be regarded as typical smeared approaches (or “non-localized stress field approaches”), because they predict the mean response without considering the specific contributions that different mechanical aspects produce on the actual physical phenomenon. Although this approach seems to be computationally more effective, it introduces several simplifications, which often require, for some of the adopted parameters, the use of arbitrary values, not obtained from a rigorous observation of the physical reality. For these reasons, in these last years a more local approach (the so called “localized stress field approach”), able to describe the effective crack pattern in a membrane element and its evolution as loading increases, has been developed. The fundamental variables of this last kind of approach are usually assumed coincident with local parameters, such as crack opening and sliding. The model recently proposed by Soltani et al. can be then regarded as a localized stress field approach, as well as the so called “PARC” model, described as “an advanced numerical tool for future study on the structural behaviour of reinforced concrete” by Soltani in his own work and which will be deepened in the second Chapter.

In the second Chapter, the fundamental hypotheses of the original “PARC” constitutive model will be first presented, and then its last evolution (the so-called “2D-PARC”), which allows for an easier generalization of the model to the case of non-monotonic and cyclic loadings and also to the case of three-dimensional modelling of reinforced concrete, will be provided. More in detail, in this work a different formulation for the material stiffness matrix will be proposed, in order to better simulate both the transition from the uncracked to the cracked stage and the evolution of the crack pattern as loading increases, considering not only the primary cracking phase but also the multi-cracked phase. In the uncracked phase, perfect bond is assumed between concrete and reinforcement; therefore the two materials behave in parallel and their stiffness contributions are added. In the singly cracked phase, the materials in the crack and between the cracks are considered as working in series. While the RC between the cracks is modelled as uncracked but damaged by the presence of the crack, adopting substantially the same laws used in the uncracked stage, the material in the crack includes all the phenomena generated by the cracking (such as aggregate bridging and interlock, tension stiffening and dowel action). Finally, the flexibilities of the two materials are added together. Similarly, in the doubly or multi-cracked phase, each crack is assumed to work in series with the material between the cracks. As a result, through this formulation it’s possible to obtain the crack pattern for each load increment, considering the presence of several cracks with different orientation. This important feature is a consequence of the modular framework structure of the proposed model. All mechanical phenomena are indeed analyzed separately on the basis of their properties and physical state. Afterwards, all the contributions are assembled to create the equivalent, non-linear, continuum material which exhibits, in the mean sense, the behaviour of the “sum” of the contributions. In this way, each part of the model can be freely modified and updated with more recent and detailed theoretical studies.

The reliability and capability of the proposed model will be then verified in the third Chapter, by analyzing the results of well-known tests on plane stress elements. For this reason, numerical analyses have been first performed by implementing the “2D-PARC” constitutive model into a MatLab program, able to describe the constitutive response in the middle point of the considered element. Through this simple procedure and considering also the multi-cracked phase, it has been possible to verify the capability of the “2D-PARC” model to predict the crack pattern and its evolution as loading increases. Afterwards, the same procedure has been implemented also into a commercial Finite Element code called ABAQUS, able to provide more general and detailed results with respect to those obtained with the simple MatLab program (for sake of simplicity, only the singly-cracked phase has been considered in this case). The adopted FE program has then been used for studying the nonlinear behaviour of some RC and PC panels, considering the mechanical nonlinearity (due to cracked and uncracked reinforced concrete) by means of the proposed constitutive model. The implementation of the “2D-PARC” model into this FE framework, making the procedure itself more general and versatile, will also allow (for future) the analysis of more complex structures.

Finally, a numerical method for the nonlinear analysis of RC beams, subjected to general loading and constraints conditions, will be presented in the fourth Chapter. As we will see, both the original “PARC” constitutive model and its new formulation, the “2D-PARC”, have been implemented into the proposed procedure. More in detail, the aim of the proposed work is to describe the nonlinear response of RC beams, which is strongly influenced by a lot of complex phenomena (such as M-V and N-V interactions, the presence of diagonal shear cracks, the presence of “D” regions), by adopting a “simple” and efficient procedure, able to describe the structural behaviour both under service and ultimate loads. For this reason, a layered beam finite element has been introduced and the displacement field through the cross section height has been modelled by using a polynomial function, whose terms depends on the complexity of the considered problem. By implementing the original “PARC” constitutive model and the new “2D-PARC” model (implementation which is still under study), the local behaviour of each reinforced concrete layer has been described. The reliability and the potential of the proposed model has been proved by comparisons with well-documented experimental tests reported in literature (Leonhardt e Walther, 1962, Leonhardt, Walther e Dilger, 1964). Several different variables have been extracted from the numerical simulations and compared with the experimental data, both at serviceability (cracking load) and at ultimate limit state (failure load). More in detail, the proposed procedure has provided some important parameters which can help to better investigate the local behaviour of the examined structures, such as the stress and strain field in concrete and in reinforcement or the crack widths, as functions of the applied loads, besides some typical global variables, such as displacements and rotations.

The final observations contained in the fifth Chapter, summarizing the whole path followed, will illustrate and support the whole leitmotiv of the thesis. Moreover, such observations underline the most significant results so far achieved as well as possible future developments of present work.