Regolarizzazione di teorie quantistiche di campo su ditali di Lefschetz come soluzione del problema del segno

Abstract

The introduction of a chemical potential in a quantum field theory in its Euclidean formulation is essential for many applications, both in solid state physics and in high energy physics. In particular, QCD simulations at finite density would provide an insight into heavy ion collisions occurring at LHC and they would also allow a study of the equation of state for nuclear matter inside neutron stars. Explicit introduction of chemical potential comes with the appearance of imaginary terms in the action, so that all Monte Carlo algorithms commonly used to compute expectation values of observables cannot be employed any more. So far this problem, called the “sign problem”, has prevented a study of most parts of the QCD phase diagram. Various approaches have been tried to overcome this problem, but a general and conclusive solution is still missing. An innovative proposal consists in complexifying the degrees of freedom and using Morse theory to decompose the original integrals that are to be computed into a combination of integrals on several Lefschetz thimbles, each attached to a critical point of the action. The greatest advantage of this deformation of integration contour is that, on each thimble, the imaginary part of the action stays constant, thus eliminating the sign problem. Being the method still young, it was necessary to test it on various toy-models. The first model which was studied is a simple one-dimensional integral, whose action is quartic in the only (real) field. This model, although in some sense trivial because of its low dimensionality, features a very non trivial solution within the framework of thimbles; by varying a parameter, one can have the relevance of either only one or three thimbles. The second model that was studied is a random matrix model. Here the degrees of freedom are 4 NxN real matrices: in this model the dimensionality can be varied by changing N. Studying the matrix model, a new algorithm to sample field configurations on a thimble was devised. This algorithm made it possible to recover correct results for the matrix model, even in regions of parameter space where the sign problem is severe. As the final purpose of this method is the study of gauge theories, the next step was to apply the approach to simple toy-models featuring gauge invariance, in order to test the effectiveness of the algorithmic solutions which had been introduced for the matrix model. As a first test, SU(N) one-link models were studied: they consist in a single SU(N) group integral of an action which is basically the trace of the group variable and the sign problem is introduced by hand by means of a complex coupling constant. The cases that were examined were successfully solved by combining multiple thimbles. The next step was 0+1-dimensional QCD. Despite the low dimensionality, in this context one faces a sign problem coming from a chemical potential, just as in QCD. The model was solved with the thimble approach at different numbers of quark flavours. The last model which was considered is Yang-Mills theory in 1+1 dimensions (the sign problem coming from a complex coupling constant). This theory features new aspects with regards to the decomposition in thimbles, namely local gauge invariance and the presence of toronic modes (zero modes due to periodic boundary conditions). These two aspects were discussed in detail in the present work.

L'introduzione di un potenziale chimico in una teoria di campo nella sua formulazione euclidea è fondamentale per svariate applicazioni, in fisica dello stato solido come in fisica delle alte energie. In particolare, simulazioni di QCD a densità finita permetterebbero la descrizione delle collisioni di ioni pesanti realizzate ad LHC e lo studio dell'equazione di stato per la materia nucleare all'interno delle stelle di neutroni. L'introduzione esplicita del potenziale chimico dà tuttavia luogo a termini immaginari nell'azione, così che tutti gli algoritmi Monte Carlo usati comunemente per calcolare valori d'aspettazione di osservabili non possono più essere impiegati. Questo problema, detto “problema del segno”, ha fino ad ora impedito l'indagine della maggior parte del diagramma di fase della QCD. Svariati approcci sono stati fino ad ora provati per eliminare questo problema ma una soluzione definitiva è ancora assente. Una proposta innovativa consiste nel complessificare i gradi di libertà ed utilizzare la teoria di Morse per scomporre gli integrali originari che si vorrebbero calcolare in una combinazione di integrali su vari Lefschetz thimbles, ciascuno attaccato ad un diverso punto critico dell'azione. Il principale punto di forza di questa deformazione del dominio di integrazione è che, su ciascun thimble, la parte immaginaria dell'azione rimane costante, eliminando così il problema del segno. Essendo il metodo ancora giovane, è stato necessario metterlo alla prova in diversi toy-models. Il primo modello studiato è un semplice integrale mono-dimensionale, la cui azione è quartica nell'unico campo (reale) presente. Questo modello, per quanto banale a causa della sua bassa dimensionalità, ha avuto una soluzione estremamente non banale dal punto di vista della formulazione su thimbles: variando un parametro, si ha la rilevanza di solo uno oppure di tre differenti thimbles. Il secondo modello studiato è un modello di matrici stocastiche. Qui i gradi di libertà fondamentali sono 4 matrici NxN reali: in questo modello la dimensionalità è regolabile cambiando N. Studiando il modello di matrici, è stato elaborato un nuovo algoritmo per campionare configurazioni di campo sul thimble. Questo algoritmo ha permesso di ottenere risultati corretti per il modello di matrici, anche in regioni dello spazio dei parametri in cui il problema del segno è molto forte. Poiché lo scopo finale di questo metodo è lo studio delle teorie di gauge, il passo successivo è stato lo studio di toy-models che esibiscono invarianza di gauge, in modo da verificare il funzionamento e l'efficacia delle soluzioni algoritmiche introdotte per il modello di matrici. Come primo test si sono guardati modelli di singolo link SU(N), che consistono nell'integrale in una singola variabile del gruppo SU(N) di una semplice azione legata alla traccia di tale variabile e il problema del segno è introdotto a mano da una costante d'accoppiamento complessa. I casi esaminati sono stati risolti con successo tramite la combinazione di più thimbles. Il passo successivo è stato poi lo studio della QCD in 0+1 dimensioni; per quanto a bassa dimensionalità, ci si confronta qui con un problema del segno legato al potenziale chimico, come nella QCD. Tale modello è stato risolto con l'approccio dei thimbles per diversi numeri di quarks. Il modello preso in esame successivamente è la teoria di Yang-Mills in 1+1 dimensioni (con il problema del segno di nuovo introdotto artificialmente con un accoppiamento complesso). Questa teoria presenta aspetti nuovi rispetto alla decomposizione su thimbles, in particolare la gauge invarianza e la presenza di modi toronici (modi nulli dovuti alle condizioni al contorno periodiche): entrambe queste problematiche sono state studiate in dettaglio nel presente lavoro.