Ornstein-Uhlenbeck operator in convex domains of Banach spaces

Abstract

Studiamo l'operatore di Ornstein-Uhlenbeck e il semigruppo di Ornstein-Uhlenbeck in un sottoinsieme aperto convesso $\Omega$ di uno spazio di Banach separabile $X$ dotato di una misura Gaussiana centrata non degnere $\gamma$. In particolare dimostriamo la disuguaglianza di Sobolev logaritmica e la disuguaglianza di Poincaré, e grazie a queste disuguaglianze deduciamo le proprietà spettrali dell'operatore di Ornstein-Uhlenbeck. Inoltre studiamo l'equazione ellittica $\lambdau+L^{\Omega}u=f$ in $\Omega$, dove $L^\Omega$ è l'operatore di Ornstein-Uhlenbeck. Dimostriamo che per $\lambda>0$ e $f\in L^2(\Omega,\gamma)$ la soluzione debole $u$ appartiene allo spazio di Sobolev $W^{2,2}(\Omega,\gamma)$. Inoltre dimostriamo che $u$ soddisfa la condizione di Neumann nel senso di tracce al bordo di $\Omega$. Questo viene fatto finita approssimazione dimensionale.

We study the Ornstein-Uhlenbeck operator and the Ornstein-Uhlenbeck semigroup in an open convex subset $\Omega$ of an infinite dimensional separable Banach space $X$ endowed with a centered non-degenerate Gaussian measure $\gamma$. In particular we prove Logarithmic-Sobolev and Poincaré inequalities, and thanks to these inequalities we deduce the spectral properties of the Ornstein-Uhlenbeck operator. Moreover we study the elliptic equation $\lambda u-L^{\Omega}u=f$ in $\Omega$, where $L^\Omega$ is the Ornstein-Uhlenbeck operator. We prove that for $\lambda>0$ and $f\in L^2(\Omega,\gamma)$ the weak solution $u$ belongs to the Sobolev space $W^{2,2}(\Omega,\gamma)$. Moreover we prove that $u$ satisfies the Neumann boundary condition in the sense of traces at the boundary of $\Omega$. This is done by finite dimensional approximation.